A lo largo de nuestra investigación hemos seguido, sin darnos cuenta, los pasos del método científico: hemos observado, nos hemos formulado preguntas, también realizamos varios experimentos, hemos sacado conclusiones y tenemos un resultado final.

Ahora bien, nos adentramos en el denominado rigor matemático, es decir, aquello de que "Un teorema es para siempre ", como visualizamos y trabajamos en el primer vídeo, pero los teoremas deben ir acompañados de una demostración.

Actividades a realizar

Casos concretos

Hemos realizado dos experimentos con valores numéricos concretos, además de obtener unas conclusiones, siempre partiendo de un rectángulo de base 5 cm y altura 3 cm. El rigor matemático nos lleva a preguntarnos si estas conclusiones se dan únicamente con estos números concretos o, por el contrario, son válidos para cualquier par de números que representen la base y la altura de un rectángulo. Si pensamos en probarlo con otro par de números, estaremos ante el mismo dilema: ¿quién garantiza que no es válido el resultado únicamente con esas dos parejas de valores?

Primera generalización

Para asegurarnos de que las conclusiones obtenidas no dependen de los números 5 y 3, y dado que existen infinitos números, resultando imposible la comprobación con todos, suponemos que partimos de un rectángulo cuya base mida b cm y su altura a cm.

Aquí, con b representamos cualquier valor de la base y con a cualquier valor de la altura, siendo estas las dimensiones de nuestro rectángulo naranja que, si lo ampliamos con escala o razón de semejanza 2, resultará un rectángulo verde con base 2b y altura 2a. Con la misma notación anterior, el área de cada rectángulo valdrá:

A_{N}= b\cdot a\\ A_{V}= 2b\cdot 2a=4\cdot b\cdot a=4\cdot A_{N}

Así que el área del rectángulo verde no aumenta con escala 2, sino con escala 4. ¡Claro, hemos multiplicado por 2 dos veces: la base y la altura!

Como tarea, y con el asesoramiento y orientación de nuestro profesor o profesora, realizaremos el mismo estudio pero con escala o razón de semejanza 3.

Segunda generalización

Todavía el rigor matemático nos obliga a dudar: ¿será cierto este resultado únicamente con las escalas 2 y 3? Con el mismo razonamiento anterior, y dado que existen infinitos números, resultando imposible la comprobación con todas las escalas, supondremos que ampliamos el rectángulo de base b cm y altura a cm a escala n.

De esta forma, abarcamos todas las combinaciones posibles para la base, la altura y la escala.

Si nos atrevemos, ¡adelante! En caso contrario, ofrecemos los cálculos para que podamos reflexionar con nuestro equipo en el botón "Mostrar Retroalimentación" y, como último recurso, acudiremos a nuestro profesor o profesora.

Teorema de las áreas en figuras semejantes

Un enunciado válido para este teorema, que no es más que la conclusión final de esta parte de nuestra investigación, podría ser tal como:

CeDeC. Teorema de áreas en semejanza (CC0)

La tarea que proponemos consiste en enunciar este teorema con una redacción distinta.

Ya tenemos bastante avanzada nuestra investigación, así que procederemos a la ampliación de la memoria incluyendo en la misma los últimos descubrimientos que hemos realizado como investigadores matemáticos sobre las áreas en rectángulos semejantes.

Como ya sabemos, nos encontramos redactando el primer capítulo de nuestro trabajo de investigación, tarea que debemos abordar con la máxima calidad y rigor científico, pues sólo así conseguiremos la acreditación de investigador matemático o investigadora matemática.

Seguidamente, ofrecemos las instrucciones, plantillas y recursos para ampliar nuestro trabajo de investigación.

¿Preparados?

Pasos y recursos para ampliar la memoria de nuestro trabajo de investigación

Investigamos las áreas de rectángulos semejantes

Cada equipo de trabajo deberá cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-3 : Cómo aumenta el área (descarga en formato editable / descarga en pdf), sustituyendo, en primer lugar, los textos en rojo por el equivalente que se solicita, con objeto de incorporar, en la zona superior derecha, el nombre del equipo, así como el nombre del centro educativo, URL de su página web y enlace a la misma en la zona inferior del documento. Por supuesto, una vez actualizados estos datos, debemos escoger el color negro, al igual que en el resto del texto.

En la columna derecha debemos ofrecer las respuestas a las preguntas planteadas a la izquierda, escribiendo las fórmulas usadas, las operaciones realizadas, los argumentos y las conclusiones finales empleando el editor de texto matemático.

¡Ha llegado el momento de la demostración!

De forma completamente análoga, cada equipo de trabajo deberá cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-4 : Método científico y rigor (descarga en formato editable / descarga en pdf), respondiendo a todas las preguntas planteadas, escribiendo las fórmulas usadas, las operaciones realizadas, los argumentos y las conclusiones finales empleando el editor de texto matemático.