Teorema de Pitágoras, ¿para qué?

¿Qué sabemos?

En la segunda sección de este proyecto hemos visualizado el vídeo titulado "Un teorema es para siempre", en el que tomamos contacto con el concepto teórico de teorema y, como ejemplo, mencionamos el de Pitágoras, por tratarse de uno de los más conocidos. Ahora bien, el contexto del mismo puede llevarnos a creer que se trata de una herramienta para uso exclusivo de los matemáticos. Pues bien, en el siguiente vídeo podremos apreciar, posiblemente para nuestra sorpresa, cómo el Teorema de Pitágoras es necesario en el quehacer diario de otros profesionales.

¿Preparados?

math2me. Teorema de Pitágoras en la construcción

El maestro albañil que aparece en este audiovisual afirma que es imposible construir una vivienda sin saber matemáticas, haciendo referencia constante a la hipotenusa y al ángulo recto.

Actividad: aprendemos con el vídeo

¿Qué somos capaces de recordar tras la visualización de este vídeo?

Para sacar el máximo partido a este material, vamos a colaborar entre todos para revisar y aclarar lo que hemos visto y oído.

Uno de nosotros anotará en la pizarra las aportaciones de cada uno intentando, por ejemplo, dar respuesta a las siguientes cuestiones:

¿Para qué utiliza las matemáticas el constructor?
Según este maestro albañil, ¿cuál es la base principal en la construcción?
¿Qué tres números emplea para poner un ejemplo?
¿Qué consigue con esa terna?
¿Para qué es importante el Teorema de Pitágoras?
¿Cuáles son las medidas del llamado "triángulo pitagórico"?
¿Observamos alguna relación con las medidas del ejemplo aportado por el maestro albañil?
¿Qué dice el Teorema de Pitágoras?
¿Seríamos capaces de expresarlo mediante una fórmula matemática?

Finalmente, volveremos a consultar los fragmentos necesarios del vídeo para determinar el porcentaje de respuestas correctas, rectificar los errores posibles o aquello que no hayamos entendido.

Como conclusión, tomaremos nota de las respuestas en nuestros diarios.

Buscamos ternas pitagóricas

A partir del conocido como triángulo pitagórico, es decir, el que tiene por medidas 3, 4 y 5, podemos encontrar, aplicando los conocimientos sobre semejanza de figuras que hemos descubierto durante el desarrollo de nuestro proyecto de investigación, otras ternas pitagóricas, que son uno de los elementos matemáticos más antiguos en toda la historia de la humanidad, incluso anteriores al propio Pitágoras.

Dada la importancia de las ternas pitagóricas, los matemáticos, investigando como nosotros, han encontrado las siguientes fórmulas que permiten generar las ternas que sean necesarias, donde la primera expresión algebraica corresponde al cateto menor, la segunda al cateto mayor y la tercera representa la hipotenusa.

M^{2}-N^{2}, 2\cdot M\cdot N, M^{2}+N^{2}

Para obtener ternas pitagóricas empleando estas fórmulas nos será de gran utilidad la estrategia de la tabla de valores, que es una disposición como la que podemos apreciar debajo.

Veamos un ejemplo, ¿preparados?

En las dos primeras columnas colocamos los valores de M y N enteros que nosotros queramos, con la única condición de ser M>N. Libremente, hemos elegido M=2 y N=1, valores que sustituimos seguidamente en las tres expresiones algebraicas y realizamos los cálculos respetando la jerarquía de operaciones.

Primera terna pitagórica

M^{2}-N^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3\\2\cdot M\cdot N=2\cdot 2\cdot 1=4\\M^{2}+N^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5

¡A practicar! Tomando como modelo el ejemplo que acabamos de ver, nos corresponde completar la tabla para localizar tres ternas pitagóricas más.

VALOR DE M>N	VALOR DE N	CATETO MENOR	CATETO MAYOR	HIPOTENUSA	TERNA
M	N	M^{2}-N^{2}	2\cdot M\cdot N	M^{2}+N^{2}
2	1	3	4	5	3, 4, 5
3	2	Rellenar huecos (1): JXUwMDZk	Rellenar huecos (2): JXUwMDY5JXUwMDAz	Rellenar huecos (3): JXUwMDY5JXUwMDAy	Rellenar huecos (4):
4	3	Rellenar huecos (5): JXUwMDZm	Rellenar huecos (6): JXUwMDZhJXUwMDA2	Rellenar huecos (7): JXUwMDZhJXUwMDA3	Rellenar huecos (8):
5	3	Rellenar huecos (9): JXUwMDY5JXUwMDA3	Rellenar huecos (10): JXUwMDZiJXUwMDAz	Rellenar huecos (11): JXUwMDZiJXUwMDA3	Rellenar huecos (12):

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Abordamos nuestra última fase de investigación

Hemos llegado a los últimos retos que, una vez superados, nos permitirán conseguir la acreditación de matemático o matemática de prestigio para integrarla en nuestro currículum, que es la herramienta fundamental para buscar trabajo y darnos a conocer como profesionales.

Nick Youngson. *Currículum Vitae* (CC BY-SA)

Pero antes, debemos investigar junto a nuestros compañeros y compañeras de equipo tan bien como hasta el momento. ¿Estamos preparados?

Actividades a realizar

Terna pitagórica de cuatro dígitos

Utilizando las expresiones algebraicas que generan ternas pitagóricas, como ya hemos aprendido, debemos proporcionar una terna pitagórica formada por números de cuatro dígitos exactamente.

Además, indicaremos los valores de M y N que generan nuestra terna pitagórica de cuatro cifras.

Conocida la terna

Hemos encontrado un perfil en nuestra red social favorita cuyo nombre de usuario es @pitagorín y pide ayuda urgentemente. Nos dice que tiene la certeza de que los números 119, 120 y 169 constituyen una terna pitagórica, pero no consigue averiguar los valores de M y N que los generan a partir de las expresiones algebraicas. ¿Seremos capaces de ayudar a @pitagorín?

Descubrimos relaciones

Se dice que, antes de nacer Pitágoras, los egipcios habían descubierto la relación entre los tres lados del triángulo rectángulo de medidas 3, 4 y 5, como podemos apreciar en la imagen inferior.

CeDeC. *Terna pitagórica primitiva* (Dominio público)

Este tipo de descubrimientos se convierten en indicios que llevan a los matemáticos y matemáticas a pensar si la relación es válida únicamente para las medidas de este triángulo rectángulo o, por el contrario, se verifica en todos los triángulos que tengan un ángulo recto.

¿Cómo tendremos que proceder según el método científico? Pues, como ya sabemos, en primer lugar corresponde realizar varios experimentos y anotar los resultados. Así que vamos a utilizar las ternas pitagóricas que ya hemos encontrado en las tareas anteriores. Por ejemplo, en la tabla de "Buscamos ternas pitagóricas", descubrimos tres: 5, 12, 13 o 7, 24, 25 o 16, 30, 34.

En la actividad titulada "Conocida la terna" tenemos los números 119, 120, 169. ¿Y la que utiliza el maestro albañil en el vídeo con el que iniciamos esta segunda sección de nuestro trabajo de investigación?

Construimos una conjetura

Llegados aquí debemos haber realizado, al menos, cinco experimentos con ternas pitagóricas y comprobado que se cumple la relación que ya conocían en el antiguo Egipto para la formada por los números 3, 4, 5, es decir, que elevando al cuadrado los catetos del triángulo rectángulo y procediendo a sumar esos resultados obtenemos lo mismo que si elevamos la hipotenusa al cuadrado. Pues bien, a partir de estos experimentos, empezamos a sospechar que dicha relación podría darse en todos los triángulos rectángulos,

Como tarea, cada equipo deberá enunciar lingüísticamente la conjetura descubierta, incluyendo una imagen que facilite su comprensión.

Convertimos la conjetura en teorema

Como hemos visto al principio de nuestro proyecto de investigación, concretamente en el vídeo titulado "Un teorema es para siempre", para que una conjetura adquiera la categoría de teorema es necesario una demostración, siendo esta una de las facetas de los matemáticos y matemáticas que, a lo largo de la historia, han ido poniendo a prueba la capacidad del cerebro y la inteligencia humanas, consiguiendo demostraciones espectaculares, algunas más sencillas y otras basadas en lo que en el argot matemático se conoce como "idea feliz", Algunas han precisado de siglos para superarlas y otras siguen sin haberse logrado.

Autoría propia. *Estrategia para demostrar el teorema de Pitágoras* (CC0)

La imagen anterior es parte de una "idea feliz" para demostrar que, en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos coincide con el cuadrado de la hipotenusa, siendo la parte más complicada de nuestro proyecto, por lo que daremos pistas secuenciales en el botón Ayuda que permitan su consecución, por supuesto con la colaboración de todo el equipo plenamente concentrado y, posiblemente, requiera de alguna aclaración por parte del director o directora del proyecto de investigación. ¿Recordamos a quién nos referimos?

Aplicamos el teorema

Tres pueblos, Villarriba, Villabajo y Villaenmedio, se encuentran en los vértices de un triángulo rectángulo. Los alumnos y alumnas de Villabajo deben desplazarse por carretera para estudiar en el instituto de Villarriba, pero el camino para el transporte escolar debe pasar actualmente por Villaenmedio, ya que existe un monte entre Villarriba y Villabajo.

El Ministerio de Transportes, Movilidad y Agenda Urbana ha diseñado un túnel bajo el monte que unirá en línea recta Villarriba con Villabajo. Las carreteras que unen los tres pueblos son casi rectas, con 5 km entre Villabajo y Villaenmedio y 12 km entre Villarriba y Villaenmedio.

Haz un dibujo que represente la situación planteada
Cuando se termine la obra del túnel, ¿cuántos kilómetros se ahorrarán diariamente los alumnos y alumnas de Villabajo?

En caso de necesidad, podemos recurrir al botón Ayuda para recibir orientaciones y sugerencias.

Retroalimentación

Terna pitagórica de cuatro dígitos

Debemos utilizar las expresiones algebraicas, como ya sabemos, así que escogeremos los valores enteros de M y N que nosotros queramos, siempre con la condición de ser M>N. Ahora bien, en los ejemplos anteriores hemos escogido para M y N valores con un dígito, como M=2, N=1 o M=3, N=2 o M=5, N=3, obteniendo ternas pitagóricas con números compuestos por uno o dos dígitos.

¿Cómo es posible que si M y N tienen una sola cifra, las ternas puedan tener dos cifras? La respuesta es evidente, ya que debemos elevar al cuadrado los valores de M y N o multiplicarlos entre sí.

Debemos hacernos preguntas del tipo ¿cuántas cifras deben tener M y N para que al elevarlos al cuadrado nos proporcionen ternas con cuatro dígitos exactamente?

Aquí está la clave. Trabajando en equipo, ¡lo conseguiremos!

Conocida la terna

Necesitamos una estrategia que nos permita localizar los valores de M y N que generan la terna pitagórica propuesta. Como, afortunadamente, todas las personas son diferentes, a cada miembro del equipo se le puede ocurrir alguna idea con la que prestar ayuda a @pitagorín. Conviene que la idea sea conocida por todo el equipo y que estemos de acuerdo en su aplicación. No obstante, vamos a presentar tres estrategias habituales en los procedimientos matemáticos y que todos debemos aprender.

Mostraremos estos procedimientos con la terna 51, 140, 149. ¿Qué valores de M y N la generan?

Estrategia 1

Podemos empezar con la estrategia conocida como ensayo-error, es decir, vamos dando valores a M y N, sustituyendo en las expresiones algebraicas, realizando las operaciones y...¡si tenemos suerte y paciencia, podremos determinar esos valores!

Como los números de la terna del ejemplo tienen tres cifras, necesitaremos una o dos para M y N y podemos organizar la información en una tabla.

VALOR DE M>N	VALOR DE N	CATETO MENOR	CATETO MAYOR	HIPOTENUSA	SOLUCIÓN
M	N	M^{2}-N^{2}	2\cdot M\cdot N	M^{2}+N^{2}
10	9	19	180	181	NO
10	8
10	6
10	7

Estrategia 2

¿Cuál de las tres expresiones algebraicas que generan las ternas es la más sencilla? Efectivamente, la central, que se corresponde con el número central de la terna. Así que:

2\cdot M\cdot N=140\Rightarrow M\cdot N=70

Por tanto, buscamos dos números enteros cuyo producto sea 70. Podemos construir una tabla similar pero con estas condiciones.

VALOR DE M>N	VALOR DE N	CATETO MENOR	CATETO MAYOR	HIPOTENUSA	SOLUCIÓN
M	N	M^{2}-N^{2}	2\cdot M\cdot N	M^{2}+N^{2}
70	1	4899	140	4901	NO
35	2	1221	140	1229	NO
14	5
10	7

Estrategia 3

En este procedimiento, usamos la primera expresión algebraica, que equivale al primer número de la terna, es decir, al 51 y la tercera, que se corresponde con el último valor, es decir, 149.

Planteamos un sistema de ecuaciones y lo resolvemos por el método de reducción, como se aprecia en el siguiente desarrollo:

\left.\begin{matrix} M^{2}-N^{2} &= & 51\\ M^{2}+N^{2} &= & 149 \end{matrix}\right\}\Rightarrow 2M^{2}=200\Rightarrow M^{2}=100\Rightarrow M=10

Podemos encontrar asesoramiento en el enlace siguiente para el método de reducción.

Finalmente, cada equipo analizará las ventajas e inconvenientes de cada estrategia.

Descubrimos relaciones

¿Recordamos qué nombre reciben los lados de un triángulo rectángulo? Pues se trata de realizar el mismo experimento varias veces, anotando los resultados y estableciendo una conjetura.

Por ejemplo, la terna pitagórica 51, 140, 149, verifica:

\left.\begin{matrix} 51^{2}+140^{2}=2601+19600=22.201\\ 149^{2}=22.201 \end{matrix}\right\}\Rightarrow 51^{2}+140^{2}=149^{2}

Construimos una conjetura

En caso de necesitar ayuda, recomendamos visitar la página Teorema de Pitágoras.

Convertimos la conjetura en teorema

Abordamos, posiblemente, la parte más complicada del proyecto, pues no es fácil adentrarse en el mundo de la demostración matemática, así que iremos ofreciendo sucesivas pistas, debiendo tener a la vista, en todo momento, la imagen que hemos construído para facilitar la comprensión.

¿Preparados para ir avanzando en las pistas que necesitemos?

Pista 1

Debemos observar que la imagen se compone de varias figuras geométricas, concretamente está formada por cuadrados y triángulos. ¿Cuántos cuadrados? ¿Cuántos triángulos? ¿De qué tipo son los triángulos?

Pista 2

Focalizamos el cuadrado pequeño, en contorno verde, y nos preguntamos cuánto mide su lado o con qué variable se representa. ¿Cuál es, en función de esa variable, el área del cuadrado pequeño?

Vamos anotando en nuestro cuaderno el proceso de matematización, es decir, cómo pasamos de expresiones lingüísticas a expresiones algebraicas. Por ejemplo:

\acute{A}rea \hspace{3pt}del\hspace{3pt}cuadrado\hspace{3pt} peque \tilde{n} o=A_{CP}=c^{2}

Pista 3

Nos concentramos ahora en los triángulos rectángulos, haciéndonos preguntas como cuál es mayor, cuánto mide o con qué variable se representa su base. ¿Y su altura? ¿Cuál es el área de uno de estos triángulos? Obviamente, según la orientación del triángulo, la base puede ser b o a, y su área:

\acute{A}rea \hspace{3pt}de\hspace{3pt}un\hspace{3pt} tri\acute{a}ngulo\hspace{3pt}rect\acute{a}ngulo=A_{T}=\frac{b\cdot a}{2}=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot a=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b

Pista 4

Nos centramos ahora en el cuadrado grande, de contorno azul, y nos preguntamos cuánto mide su lado, que está dividido en dos segmentos de longitudes a y b. Por tanto, el lado del cuadrado grande vale a+b y su área será:

\acute{A}rea \hspace{3pt}del\hspace{3pt}cuadrado\hspace{3pt} grande=A_{CG}=\left ( a+b \right )^{2}

Debemos tener mucho cuidado y recordar que nos encontramos con un producto o igualdad notable, así que

\acute{A}rea \hspace{3pt}del\hspace{3pt}cuadrado\hspace{3pt} grande=A_{CG}=\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

Pista 5

Ha llegado el momento de recopilar toda la información previa que hemos ido desarrollando en las pistas anteriores y, si tenemos en cuenta que el cuadrado de contorno azul "se rellena" con el verde y los cuatro triángulos rectángulos, y si seguimos usando la notación que hemos empleado:

Conclusión teorema de Pitágoras

A_{CP}+4\cdot A_{T}=A_{CG}\\ c^{2}+4\cdot \frac{a\cdot b}{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}\\ c^{2}+\frac{4\cdot a\cdot b}{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}\\ c^{2}+2\cdot a\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\\

c.q.d.

Hemos demostrado el teorema de Pitágoras, así que se convierte en una "verdad eterna", siendo cierto para todo triángulo rectángulo que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicamos el teorema

A estas alturas, observaremos que se trata únicamente de utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre los dos pueblos separados por el túnel. ¡El resto es fácil!

Los matemáticos o matemáticas, al finalizar la demostración de un teorema lo avisan con las iniciales que vemos, es decir, c.q.d., acrónimo de "como queríamos demostrar", aunque también podemos encontrarnos con q.e.d., expresión utilizada cuando el latín era el idioma de la ciencia, y corresponde a "quod erat demonstrandum"

Completamos y encuadernamos digitalmente nuestro trabajo de investigación

Hemos llegado al final del segundo capítulo y del proyecto, por lo que corresponde completar la memoria de nuestro trabajo de investigación para, enseguida, proceder a su encuadernación digital y dar difusión en los entornos de la comunidad matemática internacional. Simplemente nos queda incluir los descubrimientos que hemos realizado relativos a ternas pitagóricas, al teorema de Pitágoras y su aplicación en la vida cotidiana.

José Antonio Salgueiro en Flickr. *Hiperaula* (CC BY)

Con la dinámica de trabajo colaborativo que ya conocemos, presentamos a continuación las instrucciones, plantillas y recursos para, ¡por fin!, terminar y encuadernar digitalmente la memoria de nuestro trabajo de investigación.

¿Preparados?

Pasos y recursos para concluir el proyecto

Ternas pitagóricas

Cada equipo de trabajo deberá cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-12 : Ternas pitagóricas (descarga en formato editable / descarga en pdf), personalizando en la zona superior izquierda el nombre del equipo, así como el nombre del centro educativo, URL de su página web y enlace a la misma en la zona inferior del documento.

En la columna derecha debemos ofrecer las respuestas a las preguntas planteadas a la izquierda, escribiendo las fórmulas usadas, las operaciones realizadas, los argumentos y las conclusiones finales empleando el editor de texto matemático, siguiendo, en todo momento, la notación habitual en la página del proyecto y estando muy atentos a las explicaciones, comentarios y cuestiones.

Teorema de Pitágoras

De forma completamente análoga, cada equipo de trabajo deberá cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-13 : Teorema de Pitágoras (descarga en formato editable / descarga en pdf), siempre empleando el editor de texto para presentar una memoria de nuestro trabajo de investigación con la calidad requerida.

Secuenciación de nuestro trabajo de investigación

En la memoria para comunicar las conclusiones de un trabajo de investigación debemos incluir la portada, índice, introducción, capítulos, conclusiones y bibliografía, así que el orden será el siguiente:

Portada

Revisaremos que está actualizada, personalizada, con los datos solicitados y con todo el texto en color negro.

Índice

Todas las obras deben llevar un índice, cuya colocación depende del tipo: en obras literarias, al final; en obras científicas, técnicas e históricas, al principio.

El modelo matemático

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 1: el modelo matemático" aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Cómo ampliamos caras

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 2: cómo ampliamos caras" aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Cómo aumenta el área

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 3: cómo aumenta el área" aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Método científico y rigor

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 4: método científico y rigor" aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todsa las preguntas planteadas en este documento.

Cómo aumenta el volumen

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 5: cómo aumenta el volumen" aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todaslas preguntas planteadas en este documento.

Volúmenes en cuerpos semejantes

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 6: volúmenes en cuerpos semejantes" aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todsa las preguntas planteadas en este documento.

Teorema de los volúmenes

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 7: teorema de los volúmenes " aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Tabla de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 8: tabla de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes " aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Conociendo a Galileo

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 9: conociendo a Galileo " aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

La ley cuadrado-cúbica en la escultura

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 10: ley cuadrado-cúbica en la escultura " aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Ha llegado el momento

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 11: ha llegado el momento " aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que nuestra conclusión final ha sido debidamente analizada, debatida y consensuada en base al método científico.

Ternas pitagóricas

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 12: ternas pitagóricas "aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Teorema de Pitágoras

Comprobaremos que en la "Plantilla sección 13: teorema de Pitágoras " aparece el nombre de nuestro equipo en la zona superior, así como el nombre de nuestro centro y URL con enlace a su web en la inferior. Además, revisaremos que hemos dado respuesta a todas las preguntas planteadas en este documento.

Bibliografía

La bibliografía o lista de referencias se incluye al final de la obra y debe reunir las descripciones completas y claras de los documentos de los que hemos tomado prestada información para nuestro informe.

Para secuenciar la memoria de nuestro trabajo de investigación uniendo todas las páginas desde la portada, índice, introducción, capítulos, conclusiones y bibliografía, que ya hemos completado a excepción del índice y la bibliografía, recomendamos seguir las indicaciones y consejos del sencillo tutorial que hemos preparado para otro proyecto de similares características y que podemos encontrar pulsando el botón "Mostrar retroalimentación".

Paginación

Según el diccionario de la RAE, se entiende por paginación la acción y efecto de paginar. Pero también, como segunda acepción, es la serie de las páginas de un escrito o impreso. A su vez, paginar consiste en numerar páginas o planas.

Ha llegado el momento de colocar el número a cada una de las páginas de nuestro trabajo de investigación.

ÍNDICE

Para crear nuestra página de índice, que irá después de la portada, simplemente abrimos un documento nuevo en OpenOffice Writer, que titularemos ÍNDICE, donde incluiremos el título de cada página y el número de página que ocupa en nuestro informe, a saber:

El modelo matemático...........................................................3

Cómo ampliamos caras..........................................................4

Cómo aumenta el área...........................................................5

Método científico y rigor.......................................................6

Cómo aumenta el volumen..................................................7

Volúmenes en cuerpos semejantes..................................8

Teorema de los volúmenes..................................................9
Tabla de longitudes, áreas y volúmenes........................10
Conociendo a Galileo.............................................................11
Ley cuadrado-cúbica en la escultura...............................12
Ha llegado el momento.......................................................13
Ternas pitagóricas................................................................14
Teorema de Pitágoras.........................................................15

Bibliografía..............................................................................16

Guardamos el documento y lo añadimos a nuestra memoria del trabajo de investigación con el proceso que ya conocemos y que se explica en el Tutorial para unir las páginas de nuestro trabajo de investigación, y que seguramente tendremos que ajustar manualmente.

BIBLIOGRAFÍA

Todas las obras, literarias, históricas, científicas o técnicas, deben incorporar al final una bibliografía, es decir, deben reunir las descripciones completas y claras de los documentos de los que hemos tomado prestada información para nuestra memoria del trabajo de investigación, que pueden ser libros, artículos en una revista científica, capítulos de un libro, páginas web, etc, y cada uno posee una forma de citación.

En nuestro caso, todos los documentos que hemos usado para elaborar nuestra memoria proceden de internet, así que aprenderemos a citar específicamente una página web en la bibliografía.

La información encontrada en internet se cita de la siguiente forma:

APELLIDOS, Nombre. Título [tipo de soporte]. Edición. Lugar de publicación: editor, fecha de publicación, fecha de actualización/revisión. [Fecha de consulta]. <Disponibilidad y acceso>

Por ejemplo, el primer documento usado en nuestro trabajo de investigación es la portada, que hemos descargado desde ese enlace, cuya URL o dirección web es https://cedec.intef.es/rubrica/plantilla-portada/. Pues bien, en la bibliografía lo citaremos de la siguiente forma:

CeDeC. Plantilla portada trabajo de investigación [en línea]. Banco de documentos. [Consulta: 05/08/2020] <https://cedec.intef.es/rubrica/plantilla-portada/>

Con otro ejemplo veremos perfectamente la parte que es común a la cita y la que cambia. Lo haremos con el último documento, es decir, Teorema de Pitágoras, cuya URL o dirección web es <https://cedec.intef.es/rubrica/plantilla-seccion-13/>. Pues bien, en la bibliografía lo citaremos de la siguiente forma:

CeDeC. Plantilla sección-13 (Teorema de Pitágoras) [en línea]. Banco de documentos. [Consulta: 11/08/2020] <https://cedec.intef.es/rubrica/plantilla-seccion-13/>

Finalmente, para crear nuestra página con la bibliografía, que irá al final de nuestra memoria del trabajo de investigación, simplemente abrimos un documento nuevo en OpenOffice Writer, que titularemos BIBLIOGRAFÍA, donde incluiremos la cita de cada uno de los documentos que nos hemos descargado, obviamente en la forma explicada.

Guardamos el documento y lo añadimos a nuestra memoria con el proceso que ya conocemos y que se explica en el Tutorial para unir las páginas de nuestro trabajo de investigación, donde posiblemente no tendremos que ajustar manualmente nada por tratarse de la última página.

Entregamos la memoria de nuestro trabajo de investigación

Ha llegado el momento de presentar y entregar la memoria de nuestro trabajo de investigación al director o directora del proyecto que, como sabemos desde el inicio, es nuestro profesor o profesora. Lo haremos con la herramienta de intercomunicación que nos haya indicado.

Ahora bien, salvo indicación expresa, los documentos deben enviarse en , un formato de archivo utilizado para presentar e intercambiar documentos de forma fiable, independiente del software, el hardware o el sistema operativo.

En caso de necesidad para convertir nuestra memoria del trabajo de investigación al formato PDF, recomendamos:

Tutorial para crear PDF en la suite de ofimática gratuita OpenOffice

Cómo guardar un documento de Writer en formato PDF

Rúbrica: Plantillas 12 y 13

7.2. Elaborar representaciones matemáticas que ayuden en la búsqueda de estrategias de resolución de una situación problematizada.
	Nivel 1	Nivel 2	Nivel 3	Nivel 4
Plantilla 12: Realiza los ejercicios de forma correcta, comprendiendo todos los saberes de los ejercicios.	Realiza de forma precisa y correcta este apartado. (5)	Lo realiza pero le faltan conceptos o datos en su respuesta. (3,5)	Lo realiza pero tiene errores en su respuesta. (2)	No lo hace o es incorrecto. (0)
Plantilla 13: Establece conclusiones innovadoras, correctas y aplicando conocimiento matemático.	Realiza de forma precisa y correcta este apartado. (5)	Lo realiza pero le faltan conceptos o datos en su respuesta. (3,5)	Lo realiza pero tiene errores en su respuesta. (2)	No lo hace o es incorrecto. (0)

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Acreditación como matemático o matemática de prestigio

Entregada la memoria con los resultados y conclusiones de nuestro trabajo de investigación, corresponde al director o directora del proyecto su validación y si, aplicadas las rúbricas de evaluación que conocemos desde el principio, tiene la calidad suficiente realizará la propuesta al Equipo Matemático de Proyecto EDIA (EMPE) para que tenga a bien concedernos el certificado que nos acredita como matemáticos o matemáticas de prestigio e informar al Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y a la Comunidad Matemática Internacional.

CeDeC. *Equipo Matemático de Proyecto EDIA* (CC BY-SA)

Superado este trámite, podemos obtener nuestra acreditación de investigador matemático o investigadora matemática (descarga en formato editable odp / descarga en pdf), que formará parte de nuestro currículum y engrosará nuestra amplia relación de méritos.

Completamos el diario de aprendizaje: evaluación final

Después de finalizar nuestro proyecto solo nos queda una tarea más por llevar a cabo: evaluar todo lo que hemos aprendido y cómo hemos aprendido. Es el momento de cerrar nuestros diarios de aprendizaje con la publicación de dos entradas que llevarán los títulos "Teorema de Pitágoras, ¿para qué?" y "Balance final del proyecto", indicando en cada una la correspondiente fecha.

No olvidaremos realizar la "Crítica 3x1", es decir, señalar tres cosas que nos han gustado en este proyecto y una que cambiaríamos.

Retroalimentación

Para la primera entrada en nuestro diario dedicaremos diez o quince minutos a reflexionar haciendo una puesta en común con nuestros compañeros de equipo, preguntándonos si antes de participar en este proyecto:

¿Sabíamos que el Teorema de Pitágoras era de gran importancia en la construcción?
¿Conocíamos el concepto de terna pitagórica y sus significados artimético y geométrico?
¿Habíamos oído hablar de conjeturas y teoremas? ¿Y de la diferencia entre ambos conceptos?
¿Sabíamos unir páginas independientes hasta formar un único documento?
¿Sabíamos numerar las páginas en un documento de texto? ¿Sabíamos qué era la bibliografía de una obra? ¿Sabíamos citar una página web en la bibliografía?
¿Sabíamos qué era el formato PDF?¿Sabíamos guardar un documento en PDF?

Para la segunda entrada, que pondrá fin a nuestro diario de aprendizaje, además de las cuestiones ya mencionadas, dedicaremos unos minutos a pensar sobre nuestro proceso de aprendizaje en este proyecto individualmente: ¿Ha sido satisfactorio el trabajo de este proyecto? ¿Hemos cumplido todos los objetivos?

Para ello, tenemos que completar estos dos documentos que aparecen a continuación:

Evaluación de la experiencia (descarga en formato editable y en pdf)
¿Qué he aprendido? (descarga en formato editable y en pdf)

Finalmente, en equipo, valoraremos cómo hemos trabajado de forma colaborativa, así que pensamos y consensuamos entre los componentes del equipo la valoración de las diferentes categorías que aparecen en la "Rúbrica para evaluar el trabajo en equipo" (descarga en formato editable y en pdf).

Es importante que todo lo aprendido en este proyecto nos sirva para superar futuros retos.

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